이 포스팅에서는 선형대수의 기초 개념인 선형 방정식 시스템과 행렬 변환에 대해 다룹니다. 행렬 형태의 방정식, RREF(완전 계단식 형태), 벡터 방정식 및 부분 공간 개념을 단계별로 설명하며, 예제를 제공합니다.
수학 및 공학 기초 지식을 향상시키고 학습에 도움을 주는 포스팅입니다.
# 1. 선형대수의 선형 방정식
Linear Equations in Linear Algebra ( 선형대수의 선형 방정식 )
1.1 Systems of Linear Equations (선형 방정식의 시스템)
선형 방정식의 정의
선형 방정식은 다음과 같은 형태를 가집니다.
\[ a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b \]
여기서 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)은 상수(계수), \(b\)는 상수항입니다.
특징적으로 변수들은 일차식으로 나타나며, 제곱이나 곱 등의 비선형적인 형태는 포함되지 않습니다.
선형 방정식의 시스템
하나의 선형 방정식이 아닌 여러 개의 선형 방정식을 함께 고려한 것을 선형 방정식 시스템이라고 합니다.
예제 시스템
$$\begin{cases} 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 5 \\ -x_1 + 4x_2 - 2x_3 = -3 \\ 3x_1 + x_2 - x_3 = 4 \end{cases}$$
위 시스템을 행렬 형태로 변환하면 다음과 같이 표현됩니다.
$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}$$
따라서 방정식 시스템을 행렬 방정식으로 표현하면
$$Ax = b$$
기본 연산: 행 연산의 종류
행렬 연산을 통해 선형 방정식 시스템을 단순화할 수 있습니다. 이를 위한 행 연산은 다음 세 가지로 나뉩니다.
교환 (Row Interchange)
✅두 행을 서로 교환하는 연산입니다.
예: $$R_1 \leftrightarrow R_2$$ (1행과 2행 교환)
대체 (Row Replacement)
✅한 행에 다른 행의 배수를 더하거나 빼서 해당 행을 변경하는 연산입니다.
예: $$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$$(1행의 2배를 2행에서 뺌)
배수 연산 (Scaling)
✅한 행의 모든 요소를 일정한 상수배로 곱하는 연산입니다. 단, 상수는 0이 아니어야 합니다.
예: $$R_1 \leftarrow \frac{1}{2}R_1$$ (1행의 모든 요소를 2로 나누기)
연산 예시: 단계별 연산 및 해 찾기
주어진 선형 방정식 시스템:
$$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10 \end{cases}$$
행렬 형태로 변환:
$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix}$$
단계 1:
첫 번째 행을 사용하여 세 번째 행의 \(x_1\) 제거:
$$R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1$$
결과: $$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 0 & 10 & -10 \end{bmatrix}$$
단계 2:
두 번째 행을 사용하여 세 번째 행의 \(x_2\) 제거:
\[ R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2 \]
결과: \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & 30 \end{bmatrix} \]
해 도출: \[ x_3 = -1, \quad x_2 = 0, \quad x_1 = 1 \]
1.2 Row Reduction and Echelon Forms (행렬 변환 및 계단식 형태)
계단식 행렬 (Echelon Form)
행렬이 아래 조건을 만족하면 계단식 행렬이라 합니다.
- 모든 0이 아닌 행에서 가장 왼쪽에 있는 원소(피벗)는 1이어야 합니다.
- 피벗이 있는 행보다 아래 있는 모든 행의 해당 열의 원소는 0이어야 합니다.
완전 계단식 행렬 (Reduced Row-Echelon Form, RREF)
위 조건을 만족하면서 다음 조건을 추가로 만족하면 완전 계단식 행렬이라 부릅니다.
- 각 피벗 열에 대해 피벗을 제외한 모든 원소는 0이어야 합니다.
- 피벗이 있는 행은 반드시 위쪽 행보다 오른쪽에 위치합니다.
예제:\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \]
위 행렬은 각 변수에 대한 해를 명확히 보여줍니다.
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = -1 \]
1.3 Vector Equations (벡터 방정식)
벡터 방정식
선형 방정식 시스템은 벡터 방정식으로도 표현할 수 있습니다.
\[ a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n = b \]
여기서 \( v_i \)는 벡터, \( a_i \)는 스칼라 계수입니다.
선형 결합과 해의 존재 여부
벡터 \( b \)가 벡터 \( v_1, v_2, \ldots, v_n \)의 선형 결합으로 표현될 수 있을 때 방정식의 해가 존재합니다.
벡터 공간과 부분 공간
- 벡터 공간: \( \mathbb{R}^n \): \( n \) 개의 실수로 이루어진 공간.
- 부분 공간: 벡터 공간의 부분 집합으로, 영벡터를 포함하며 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있는 집합입니다.
